Bråk och decimaler på Högskoleprovet

Sammanfattning Bråk och decimaler på Högskoleprovet

Vid förlängning av bråk multipliceras täljare och nämnare, ex. för att få en gemensam nämnare.
Vid förkortning av bråk divideras täljare och nämnare, ex. vid förenkling.
Två bråk med samma nämnare kan skrivas på gemensamt bråkstreck, ex. $\frac{3}{14}+\frac{8}{14}=\frac{3+8}{14}=\frac{11}{14}$.
Ett sätt att få gemensam nämnare är att multiplicera nämnarna i bråken, ex. $\frac{3}{5}+\frac{2}{3}=\frac{3\cdot3}{3\cdot5}+\frac{5\cdot2}{5\cdot3}=\frac{9}{15}+\frac{10}{15}=\frac{19}{15}$.
Vid multiplikation av bråk multipliceras täljarna för sig och nämnarna för sig
Vid division av bråk multipliceras täljaren med den inverterade nämnaren, ex. $\large{\frac{\frac12}{\frac18}}\normalsize{=\frac12\cdot \frac81=\frac82=4}$
Om man kan skriva heltalet $a$ som $a = b \cdot c,$ där $b$ och $c$ är också är heltal, så säger man att $a$ är delbart med $b$ eller $a$ är delbart med $c.$
Tal som inte är delbara skrivs med kvot och rest, ex. talet $\frac{15}{7}$ skrivs i blandad form $2\frac17$ där $2$ är kvot och $1$ är rest.
Ett primtal är bara jämnt delbart med sig själv och ett, ex. $2, 3, 5, 7.$

Allmänt om heltal, decimaltal, tal i bråkform och tal i blandad form

Ett heltal är exempelvis $-2, -1, 1, 2.$
Ett decimaltal är med hjälp av ett decimaltecken uppdelat i en heltalsdel och en decimaldel, exempelvis $2,5; 3,2; 4,75.$
Ett tal i bråkform är samma sak som division av två tal, fast man inte räknar ut svaret, exempelvis $\frac12$, $\frac34$, $\frac45$.
Ett tal i blandad form är en blandning mellan heltal och bråk, exempelvis: $2\frac23$ vilket vi läser som två hela och två tredjedelar. Ett tal i blandad form kan skrivas om till bråkform.

bråk-och-decimaler

Exempel: Blandad form och Bråkform

Skriv om talet $\boldsymbol{2\frac23}$ till bråkform

$2\frac23=\frac{2 \cdot 3}{3}+\frac23=\frac{6 + 2}{3}=\frac83$.

Svar: $\frac83$

Att förlänga och förkorta ett bråk

Då vi skriver ett bråk i sin enklaste form förkortar vi bråket. Vi dividerar täljare och nämnare så att dessa minskar. Vi ändrar aldrig det ursprungliga talets värde då vi förkortar det, eftersom vi dividerar täljare och nämnare med samma tal.

Exempel: Förkorta ett Bråk

Skriv talet $\boldsymbol{\frac28}$ i sin enklaste form.

$\frac28 = \frac{2/2}{8/2}=\frac14$

Svar: $\frac14$

Förlängning gör vi vanligtvis då vi behöver skriva flera bråk med gemensam nämnare. På samma sätt som vid förkortning så ändrar vi aldrig det ursprungliga talets värde då vi förlänger det, men istället för att dividera täljare och nämnare multiplicerar vi.

Exempel: Förlänga ett Bråk

Skriv bråket $\boldsymbol{\frac12}$ som åttondelar.

$\frac12=\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}=\frac48$

Svar: $\frac48$

Kort division

Kort division använder vi för att dividera tal med varandra. Kort division fungerar både för att beräkna heltalet av en kvot samt decimaler.

Vid kort division skriver vi nämnaren under täljare och drar ett streck under nämnaren, på samma sätt som för bråk. Därefter undersöker vi, position för position, hur många gånger som nämnaren går i täljaren. Om vi får en rest, sparar vi detta som ett tiotal till nästa position.

Exempel: Kort Division

Beräkna $\boldsymbol{\frac{897}{7}}$.

Vi börjar med att skriva upp våra tal:

897	=
7

Hundratal: 8/7 går 1 gång, rest 1.

8¹97	= 1
7

Tiotal: (10 + 9)/7 = 19/7 går 2 gånger, rest 5

8¹9⁵7	= 12
7

Ental: (50 + 7)/7 = 57/7 går 8 gånger, rest 1

8¹9⁵7¹	= 128
7

Tiondelar: (10 + 0)/7 = 10/7 går 1 gång

8¹9⁵7¹	= 128,1
7

Svar: 128,1

Gemensam nämnare

Bråk som har samma nämnare kan vi direkt skriva på gemensamt bråkstreck, till exempel $$\frac14 + \frac 24 = \frac {1 + 2}{4}=\frac34$$ Bråk som har olika nämnare behöver vi skriva om så att de får gemensam nämnare innan vi kan utföra addition och subtraktion. Det gör vi endera genom förlängning eller genom förkortning. Det enklaste sättet att identifiera en gemensam nämnare är att multiplicera bråkens nämnare.

Exempel: Gemensam Nämnare

Bestäm summan av $\boldsymbol{\frac 14 + \frac13}$

Multiplicerar vi nämnarna får vi gemensam nämnare $= 4 \cdot 3 = 12$ och vi förlänger bråken så att vi får $12$ i nämnaren.

$\frac 14$ förlänger vi med $\frac33$

$\frac 13$ förlänger vi med $\frac44$

$\frac 14 + \frac13=\frac {3 \cdot 1}{3 \cdot 4} + \frac {4 \cdot 1}{4 \cdot 3}=\frac {3}{12} + \frac {4}{12}$

Nu har vi gemensam nämnare och kan skriva på ett bråkstreck:

$\frac {3 + 4}{12}=\frac {7}{12}$

Svar: $\frac {7}{12}$

Minsta gemensamma nämnare

I vissa fall kan vi förkorta vår gemensamma nämnare ytterligare. En minsta gemensam nämnare, mgn är det minsta heltal som är gemensamt för bråkens nämnare.

Exempel: Minsta Gemensamma Nämnare

Bestäm differensen av talen $\boldsymbol{\frac14-\frac28-\frac4{16}}$

Om vi skulle hitta en gemensam nämnare genom att multiplicera talens nämnare såsom i förra exemplet, dvs 4 · 8 · 16, skulle vi visserligen kunna skriva talen på ett bråkstreck, men nämnaren blir onödigt stor. Därför undersöker vi bråken var och ett för sig.

Bråket $\frac14$ är redan förkortad så långt det går. Det vet vi eftersom vi har ett i täljaren.

Bråket $-\frac{2}8$ går att förkorta. Om vi dividerar täljare och nämnare med två får vi $-\frac{1}4$.

På samma sätt kan vi förkorta $-\frac{4}{16}$ genom att dividera täljare och nämnare med 2 två gånger, $-\frac{4}{16}= -\frac{2}8=-\frac{1}4$.

Nu har vi förkortat bråken så långt vi kan och de har alla nämnaren fyra, vilket är vår minsta gemensamma nämnare:

$\frac14-\frac28-\frac4{16}=\frac{1 - 1 - 1}{4}=\frac{-1}{4}$

Svar: $\frac{-1}{4}$

Multiplikation av bråk

Vid multiplikation av bråk multiplicerar vi täljarna för sig och nämnarna för sig.

Exempel: Multiplikation av Bråk

Beräkna $\boldsymbol{\frac23 \cdot \frac13}$

$\frac23 \cdot \frac13=\frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 3}=\frac29$

Svar: $\frac29$

Division av bråk

Vid division av bråk multiplicerar vi täljaren med den inverterade nämnaren.

Exempel: Division av Bråk 1

Beräkna $\boldsymbol{\large{\frac{\frac13}{\frac14}}}$

$\large{\frac{\frac13}{\frac14}}\normalsize{=\frac13\cdot\frac41=\frac{1\cdot4}{3\cdot1}=\frac43}$

Svar: $\frac43$

Vid division av bråk kan vi utnyttja att även heltal kan skrivas som bråk.

Exempel: Division av Bråk 2

Beräkna $\boldsymbol{\large{\frac{4}{\frac14}}}$

Talet fyra i täljaren kan även skrivas som $\frac41$ vilket gör det tydligare vid division av bråk och då vi multiplicerar med den inverterade nämnaren:

$\large{\frac{4}{\frac14}=\frac{4 \over 1}{\frac14}}\normalsize{=\frac41 \cdot \frac41 = \frac{16}1=16}$

Svar: 16

Delbarhet och rest

Om man kan skriva heltalet a som a = b · c, där b och c är också är heltal, så säger man att a är delbart med b eller a är delbart med c. Exempelvis 8 = 2 · 4, talet 8 är delbart med 2 och talet 8 är delbart med 4.

Vissa tal är inte jämnt delbara. Ett sätt att skriva ett sådant tal är att använda kvot och rest. Talet 15/7 skrivs i blandad form $2\frac17$ där 2 är kvot och 1 är rest.

Exempel: Delbarhet

Det finns bra sätt att snabbt kunna besvara om ett tal är jämnt delbart med ett annat tal:

Alla heltal är jämnt delbara med 1.
Om talet slutar på ett jämnt tal, ex 2, 4, 6, 8 så är det jämnt delbart med två.
Vi tar ett exempel med talet 3123: Addera varje siffra i talet: 3 + 1 + 2 + 3 = 9. Eftersom 9 är jämnt delbart med 3 så är även 3123 jämnt delbart med 3.
Om talet är jämnt delbart med 4 så är det jämnt efter halvering. Exempelvis $\frac{2048}2=1024$ är ett jämnt tal och därför är 2048 jämnt delbart med 4.
Om talets slutsiffra är 0 eller 5 så är talet jämnt delbart med 5.
Kombination av 3 och 2: Exempelvis 1176. $\frac{1176}2 =588$. 5 + 8 + 8 = 21 och $\frac{21}7=3$
Multiplicera sista siffran med 2 och subtrahera från talet fu sista siffran. Om det du får fram är jämnt delbart med 7 så är hela talet jämnt delbart med 7. Exempelvis 343. Sista siffran = 3. 3 · 2 = 6. 34 - 6 = 28 och $\frac{28}7=$4.
Samma princip som 4, men görs 2 gånger: Halvera talet, halvera det igen. Är det fortfarande jämnt så är det jämnt delbart med 8.
Följer motsvarande regel som 3, dock att summan av talen = 9.
Alla tal som slutar på 0 är jämnt delbart med 10.
11.Summera siffrorna på talets jämna platser och ojämna platser. Är differensen mellan dessa lika med noll eller elva, så är talet jämnt delbart med 11. Exempelvis 5819: (8 + 9) - (5 + 1) = 11 $\Rightarrow$ 5819 är jämnt delbart med 11.
12.Kombination av 3 och 4: Talets siffersumma är delbart med 3 och det tal som bildas av de två sista siffrorna är delbart med 4.

Primtal och faktoruppdelning

Ett primtal är bara jämnt delbart med sig själv och ett. Primtalen mellan ett och tjugo är: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 och 19. Man kan faktoruppdela alla heltal som inte är primtal i primtalsfaktorer. Exempelvis 72 = 9 · 8 = 3 · 3 · 2 · 4 = 3 · 3 · 2 · 2 · 2. Faktoruppdelning i primtal är användbart exempelvis då vi vill förenkla ett bråk.

Exempel: Delbarhet 2

Bestäm alla faktorer som talet $\boldsymbol{30}$ är jämnt delbart med.

Talet $30$ kan primtalsfaktoriseras i $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$. Det här innebär att $30$ är jämnt delbart med alla dessa 3 faktorer och även med alla kombinationer av produkten av dessa faktorer, dvs:

$\frac{30}{2}=15$
$\frac{30}{3}=10$
$\frac{30}{5}=6$
$\frac{30}{2\cdot3}=\frac{30}{6}=5$
$\frac{30}{3\cdot5}=\frac{30}{15}=2$
$\frac{30}{2\cdot3\cdot5}=\frac{30}{30}=1$

På samma sätt som alla andra heltal är $30$ även jämnt delbart med $1.$

Svar: $30$ är jämnt delbart med $1, 2, 3, 5, 6, 15$ och $30.$

Exempel: Förenkling av bråk

Förenkla bråket $\boldsymbol{\frac{63}{42}}$ så långt som möjligt.

$\frac{63}{42} = \frac{7 \cdot 9}{7 \cdot 6}=\frac{7 \cdot 3 \cdot 3}{7 \cdot 3 \cdot 2}$

Nu har vi faktoruppdelat täljare och nämnare så långt som möjligt, eftersom faktorerna i både täljare och nämnare är primtal. Vi ser att vi har gemensamma faktorer både i täljare och nämnare. 7 i täljaren kan förkortas med 7 i nämnaren. En av treorna i täljaren kan förkortas mot en av treorna i nämnaren.

$\frac{7 \cdot 3 \cdot 3}{7 \cdot 3 \cdot 2}=\frac{3}{2}$

Svar: $\frac{3}{2}$

Test av primtal

Uppgifter om primtal förekommer på högskoleprovet och är ofta formulerade som Vilket är det största primtalet som är mindre än $\boldsymbol{x?}$ För primtal upp till $100$ räcker det att testa delbarhet med primtalen $2, 3, 5$ och $7.$ Är talet vi testar inte delbart med något av dessa tal, så vet vi att det är ett primtal.

För större primtal (test av primtal större än $100)$ är metoden:

Sök efter närmaste heltal till roten av talet.
Testa delbarhet av alla primtal upp detta tal.
Om talet inte är jämnt delbart med något av dessa primtal så är det ett primtal.

Exempel: Test av primtal

Vilket är det största primtalet som är mindre än $\boldsymbol{100?}$

$91$
$93$
$97$
$99$

För tal upp till $100$ räcker det med att testa delbarhet med talen $2, 3, 5$ och $7.$

Talet $91$ är jämnt delbart med $7:$

$(2\cdot 1 = 2$ och $9-2=7).$

Talen $93$ och $99$ är jämnt delbara med $3:$

$(9+3=12$ och $9+9=18).$

Talet $97$ är inte jämnt delbara med något av talen $2, 3, 5$ eller $7$ och därför är vårt svar $97.$

Svar: $C. 97.$

Exempel: Test av primtal 2

Vilket är det största primtalet som är mindre än $\boldsymbol{200?}$

$\sqrt{200}\approx 14$ eftersom $14^2=196$. Vi behöver alltså testa delbarhet med talen $2, 3, 5$ och $7$ och dessutom med talen $11$ och $13.$

Talet $195$ är jämnt delbart med $3$ och med $5:$

$(1 + 9 + 5 = 15$ och det slutar på $5).$

Talet $196$ är jämnt delbart med $2:$

Talen $197$ och $199$ är inte jämnt delbart med något av talen $2, 3, 5, 7, 11$ eller $13$ och är därför primtal.

Svar: $D. 199.$